Question

下列命题：①已知函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）f（b）＜0，则y=f（x）在[a，b]上零点个数一定为1个；
②定义在R上的奇函数f（x）必满足f（0）=0；
③f（x）=（2x+1）²-2（2x-1）既不是奇函数又不是偶函数；
④A=R，B=R，f：x→y=

1

x+1

，则f为A到B的映射；
⑤f(x)=

1

x

在定义域上是减函数．
其中真命题的序号是

 

（把你认为正确的命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：逐一检验各个选项的正确性，通过给变量取特殊值，举反例可以排除某些选项．

解答：解：①不正确，如f（x）=x（x-1）（x-2）在区[-1，3]上上连续，且f（-1）f（3）＜0，f（x）在[-1，3]上的零点
有3个，零点个数为 3．
②正确，按照奇函数的定义，f（0）=f（-0）=-f（0），∴2f（0）=0，故 f（0）=0．
③不正确，∵f（x）=（2x+1）²-2（2x-1）=4x²-1，定义域为R，关于原点对称，f（-x）=f（x），
是一个偶函数．
④不正确，因为前一个集合中的-1在后一个集合中没有元素与之对应，故不是映射．
⑤不正确，因为当x=-1时 y=-1，当 x=1 时，y=1，1＞-1，故 y=

1

x

 在其定义域内不是减函数．
综上，只有②正确，
故答案为②．

点评：本题考查函数零点的个数判断、映射的定义、函数的单调性的判断、函数的奇偶性和单调性，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．