Question

9．设函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-2x+1，
（1）试求出f（x）在R上的表达式；
（2）作出函数y=f（x）的图象；
（3）指出其单调区间．

Answer 1

分析 （1）设x＜0，则-x＞0，利用函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-2x+1，即可求出f（x）在R上的表达式；
（2）根据（1）作出函数y=f（x）的图象；
（3）根据（2）指出其单调区间．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=x²-2x+1，
∴f（-x）=x²+2x+1，
∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-x²-2x-1，
∵f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x-1，x＜0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}-2x+1，x＞0}\end{array}\right.$；
（2）函数y=f（x）的图象如图所示；

（3）单调增区间（-∞，-1），（1，+∞）；单调减区间（-1，0），（0，1）．

点评 本题考查函数解析式的确定，考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．