Question

用0、1、2、3、4、5六个数字组成无重复数字的四位数，问：（1）偶数有多少个？（2）大于3125的有多少个？（以数字作答）

Answer 1

分析：（1）当末位是数字0时，可以组成A₅³个数字；当末位不是0时，末位可以是2，4，有两种选法，首位有4种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，共有C₂¹C₄¹A₄²种结果，
根据计数原理得到结果．
（2）把满足条件的无重复数字的四位数分成3类：①当千位是3，百位是1的；②当千位是3，百位不是1的；③千位是4或5的．求出每一类的无重复数字的四位数的个数，
相加即得所求．

解答：解：（1）本题需要分类来解，
当末位是数字0时，可以组成A₅³=60个，
当末位不是0时，末位可以是2，4，有两种选法，
首位有4种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，共有C₂¹C₄¹A₄²=96种结果，
根据分类计数原理知共有60+96=156种结果，
（2）把满足条件的无重复数字的四位数分成3类：
当千位是3，百位是1时，十位应从4或5中选一个，有2种方法；个位从剩下的3个数中任选一个，有3种方法，根据分布计数原理，这样的数共有2×3=6个．
当千位是3，百位不是1时，百位只能从2、4、5中选一个，个位和个位任意选，这样的数共有C₃¹•A₄²=36个．
当千位是4或5时，其它的位任意选，共有C₂¹•A₅³=120个．
根据分类计数原理，大于3125的有6+36+120=162个．

点评：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想．数字问题是排列中经常见到问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，注意数字0的双重限制，即可在最后一位构成偶数，又不能放在首位．