Question

在平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+（3-4m），（m∈R）恒有公共点，且要求使圆O的面积最小．
（1）写出圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比数列，求

PA

•

PB

的范围；
（3）已知定点Q（-4，3），直线l与圆O交于M、N两点，试判断

QM

•

QN

×tan∠MQN是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l的方程，若不存在，给出理由．

Answer 1

（1）因为直线l：y=mx+（3-4m）过定点T（4，3）
由题意，要使圆O的面积最小，定点T（4，3）在圆上，
所以圆O的方程为x²+y²=25．
（2）A（-5，0），B（5，0），设P（x₀，y₀），则x₀²+y₀²＜25 ①

PA

=(-5-x0，-y0)，

PB

=(5-x0，-y0)，
由|

PA

|，|

PO

|，|

PB

|成等比数列得，|

PO

|2=|

PA

|•|

PB

|，
即

x

20

+

y

20

=

(x0+5)2+ y 20

•

(x0-5)2+ y 20

，整理得：

x

20

-

y

20

=

25

2

，即

x

20

=

25

2

+

y

20

②
由①②得：0≤

y

20

＜

25

4

，

PA

•

PB

=(

x

20

-25)+

y

20

=2

y

20

-

25

2

，∴

PA

•

PB

∈[-

25

2

，0)
（3）

QM

•

QN

×tan∠MQN=|

QM

|•|

QN

|cos∠MQN×tan∠MQN
=|

QM

|•|

QN

|sin∠MQN=2S△MQN．
由题意，得直线l与圆O的一个交点为M（4，3），又知定点Q（-4，3），
直线l_MQ：y=3，|MQ|=8，则当N（0，-5）时S_△MQN有最大值32．
即

QM

•

QN

×tan∠MQN有最大值为64，
此时直线l的方程为2x-y-5=0．