Question

(本题满分12分) 已知函数=，在x=1处取得极值为2.（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间（m，2m＋1）上为增函数，求实数m的取值范围；（3）若P（x₀，y₀）为=图象上的任意一点，直线l与=的图象相切于点P，求直线l的斜率的取值范围.

Answer 1

（1）     （2）m∈(-1,0)     

解析:

（1）已知函数=，∴ =,

又函数f(x)在x=1处取得极值2，∴即∴=.

（2）∵==.由>0，得4-4x²>0，即-1<x<1,

所以= 的单调增区间为（-1，1）.因函数在（m，2m＋1）上单调递增，则有解得-1<m≤0，即m∈(-1,0)时，函数在（m，2m＋1）上为增函数.

（3）=,∴=,

直线l的斜率为k===4［］.

令=t，t∈(0,1),则直线l的斜率k=4(2t²-t),t∈(0,1)∴k∈［-,4］，即直线l的斜率k的取值范围是［-,4］［或者由k=转化为关于x₀²的方程，根据该方程有非负根求解］