【题目】定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b),
(1)求证:f(0)=1;
(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)> 0;
(3)证明:f(x)是R上的增函数;(4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围。
【答案】(1)略(2)略 (3) 0<x<3
【解析】本题主要考查抽象函数及其应用、函数单调性的判断与证明.解本题的关键是灵活应用题目条件,尤其是(3)中“f(x2)=f[(x2-x1)+x1]”是证明单调性的关键,这里体现了向条件化归的策略.
(1)利用赋值法解决,令x=y=0即得;
(2)利用条件:“当x>0时,f(x)>1”,只须证明当x<0时,f(x)>0即可;
(3)利用单调函数的定义证明,设x1<x2,将f(x2)写成f[(x2-x1)+x1]的形式后展开,结合(2)的结论即可证得;
(4)由f(x)f(2x-x2)>f(0)得f(3x-x2)>f(0).结合f(x)的单调性去掉符号“f”后,转化成一元二次不等式解决即可
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【题目】定义在R上的偶函数f(x),当x∈[1,2]时,f(x)<0,且f(x)为增函数,给出下列四个结论:
①f(x)在[-2,-1]上单调递增;
②当x∈[-2,-1]时,有f(x)<0;
③f(x)在[-2,-1]上单调递减;
④|f(x)|在[-2,-1]上单调递减.
其中正确的结论是__________(填上所有正确的序号).
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【题目】某人练习射击,他脱靶的概率为0.20,命中6环,7环,8环,9环,10环的概率依次0.10,0.20,0.30,0.15,0.05,则该人射击命中的概率为( )
A.0.50
B.0.60
C.0.70
D.0.80
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【题目】观察下列等式:1=1,1+2+1=4,1+2+3+2+1=9,1+2+3+4+3+2+1=16,……,由以上可推测出一个一般性结论:对于n∈N*,1+2+…+n+…+2+1=________.
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【题目】已知集合A={x|x(x﹣2)≤0},B={﹣2,﹣1,0,1,2},则A∩B=( )
A.{﹣2,﹣1}
B.{1,2}
C.{﹣1,0,1,2}
D.{0,1,2}
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【题目】某滨海城市计划沿一条滨海大道修建7个海边主题公园,由于资金的原因,打算减少2个海边主题公园,两端海边主题公园不在调整计划之列,相邻的两个海边主题公园不能在同时调整,则调整方案的种数是( )
A.12
B.8
C.6
D.4
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【题目】已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣3|(a∈R).
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥x+8的解集;
(2)若函数f(x)的最小值为5,求a的值.
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