分析 (Ⅰ)推导出AC⊥BD,PA⊥BD,由此能证明平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)设AC∩BD=O,以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,过O作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,由此能求出平面APD与平面PBC所成二面角(锐角)的余弦值.
解答 证明:(Ⅰ)∵四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,
且PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD=2,∠BAD=60°,
∴AC⊥BD,PA⊥BD,
∵PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC,
∵BD?平面PBD,
∴平面PBD⊥平面PAC.
解:(Ⅱ)设AC∩BD=O,以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,过O作平面ABCD的垂线为z轴,
建立空间直角坐标系,
A($\sqrt{3}$,0,0),P($\sqrt{3}$,0,2),D(0,-1,0),B(0,1,0),C(-$\sqrt{3}$,0,0),
$\overrightarrow{AP}$=(0,0,2),$\overrightarrow{AD}$=(-$\sqrt{3}$,-1,0),$\overrightarrow{BP}$=($\sqrt{3}$,-1,2),$\overrightarrow{BC}$=(-$\sqrt{3}$,-1,0),
设平面APD的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}=(1,-\sqrt{3}$,0),
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=\sqrt{3}a-b+2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}a-b=0}\end{array}\right.$,取a=1,得$\overrightarrow{m}$=(1,-$\sqrt{3}$,-$\sqrt{3}$),
cos<$\overrightarrow{n},\overrightarrow{m}$>=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{4}{\sqrt{4}•\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$.
∴平面APD与平面PBC所成二面角(锐角)的余弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$.
点评 本题考查面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{7}{2}$ | B. | $\sqrt{10}$ | C. | 4 | D. | $\frac{2+\sqrt{10}}{2}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 当x=2时,y有最小值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$ | B. | 当x=2时,有最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$ | ||
C. | 当x=$\sqrt{2}$时,y有最小值2 | D. | 当x=$\sqrt{2}$时,y有最大值2 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
收入x(万元) | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
支出y(万元) | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
A. | 15万元 | B. | 14万元 | C. | 13万元 | D. | 12万元 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
喜爱运动 | 不喜爱运动 | 总计 | |
男 | 10 | 16 | |
女 | 6 | 14 | |
总计 | 30 |
P(K2≥k0) | 0.40 | 0.25 | 0.10 | 0.010 |
k0 | 0.708 | 1.323 | 2.706 | 6.635 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com