Question

对于方程x|x|+px+q=0进行讨论，下面有四个结论：
①至多有三个实根；                     ②至少有一个实根；
③仅当p²-4q≥0时才有实根；          ④当p＜0且q＞0时，有三个实根．
以上结论中，正确的序号是

 

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Answer 1

分析：方程x|x|+px+q=0包含两个方程：当x＞0时为x²+px+q=0（i）； 当x＜0时为-x²+px+q=0，也就是x²-px-q=0（ii）．先判断方程（i）、（ii）有两正根的充要条件，再对命题进行讨论，即可得出结论．

解答：解：方程x|x|+px+q=0包含两个方程：当x＞0时为x²+px+q=0（i）； 当x＜0时为-x²+px+q=0，也就是x²-px-q=0（ii）．
（i）的判别式是△₁=p²-4q，如果△₁＞0，且x₁+x₂=-p＞0，x₁x₂=q＞0时，则有两个正根，即方程（i）有两正根的充要条件是：p²-4q＞0，p＜0，q＞0（1）；
（ii）的判别式是△₂=p²+4q，如果△₂＞0，且x₁+x₂=p＜0，x₁x₂=-q＞0时，则有两个负根；即方程（ii）有两负根的充要条件是：p²+4q＞0，p＜0，q＜0（2）；
如果条件（1）满足，方程（i）有两个正根，方程（ii）则只有一个负根，因为这时q＞0，x₁x₂=-q＜0，故必有一个不能要的正根．
如果条件（2）满足，方程（ii）有两负根，而方程（i）则只有一个正根，另一根是负根不能要．
因此判断①：至多有三个实根是正确的．
如果p²-4q＜0，则方程（i）无实根；此时p²＜4q，故必有q＞0，于是有p²+4q＞0，故方程（ii）至少有一个负根；同样，如果p²+4q＜0，则方程（ii）无实根，此时4q＜-p²，故必有q＜0，于是必有 p²-4q＞0，故方程（i）至少有一个正根； 因此判断②：至少有一个实根是正确的．
p²-4q≥0不是原方程有实根的必要条件，因为当p²-4q＜0，但只要p²+4q≥0原方程也会有实根，故判断③是错的．
p＜0且q＞0是原方程有三个实根的必要条件，不是充分条件，因此判断④也是错的．
综上所述，正确的序号是①②．
故答案为：①②．

点评：本题考查命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，难度大．