Question

（2013•广州二模）经过点F （0，1）且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l，使直线l与轨迹M 在点D处的切线平行，设直线l与轨迹M交于点B、C．
（1）求轨迹M的方程；
（2）证明：∠BAD=∠CAD；
（3）若点D到直线AB的距离等于

2

2

|AD|，且△ABC的面积为20，求直线BC的方程．

Answer 1

分析：（1）设出动圆的圆心坐标，利用动圆经过定点F（0，1），且与定直线：y=-1相切，列出方程化简即可得到所求轨迹方程．
（2）由（1）得y=

1

4

x²，设D（x₀，

1

4

x

2 0

），由导数的几何意义，得直线l的斜率，又A（-x₀，

1

4

x

2 0

），设C（x₁，

1

4

x

2 1

），B（x₂，

1

4

x

2 2

）．利用斜率公式得到x₁+x₂=2x₀．从而有k_AB=-k_BC，即可证得∠BAD=∠CAD．
（3）根据条件：点D到直线AB的距离等于

2

2

|AD|，可知∠BAD=45°，将直线AB的方程与x²=-4y联立方程组，解得B点的坐标，求出|AB|，|AC|，最后根据△ABC的面积列出方程，解得x₀=±3，从而得出直线BC的方程．

解答：解：（1）设圆心坐标为（x，y），由题意动圆经过定点F（0，1），且与定直线：y=-1相切，
所以

x2+(y-1)2

=|y+1|，
即（y-1）²+x²=（y+1）²，
即x²=4y．故轨迹M的方程为x²=4y．
（2）由（1）得y=

1

4

x²，∴y′=

1

2

x，
设D（x₀，

1

4

x

2 0

），由导数的几何意义 得直线l的斜率为k_BC=

1

2

x0，
则A（-x₀，

1

4

x

2 0

），设C（x₁，

1

4

x

2 1

），B（x₂，

1

4

x

2 2

）．
则k_BC=

1 4 x 2 1 - 1 4 x 2 2

x1-x2

=

x1+x2

4

=

1

2

x₀，∴x₁+x₂=2x₀．
k_AC=

1 4 x 2 1 - 1 4 x 2 0

x1+x0

=

x1-x0

4

，k_AB=

x2-x0

4

，
∴k_BC+_AB=

x1-x0

4

+

x2-x0

4

=

x1+x2-2x0

4

=0，∴k_AB=-k_BC．
∴∠BAD=∠CAD．
（3）点D到直线AB的距离等于

2

2

|AD|，可知∠BAD=45°，
不妨设C在AD上方，即x₂＜x₁，直线AB的方程为：y-

1

4

x

2 0

=-（x+x₀），与x²=-4y联立方程组，
解得B点的坐标为（x₀-4，

1

4

(x0-4)2），∴|AB|=

2

|x₀-4-（-x₀）|=2

2

|x₀-2|
由（2）知，∠CAD=∠BAD=45°，同理可得|AC|=2

2

|x₀+2|．
∴△ABC的面积为

1

2

×2

2

|x₀+2|×2

2

|x₀-2|=20．
解得x₀=±3．
当x₀=3时，B（（-1，

1

4

），K_BC=

3

2

，直线BC的方程为6x-4y+7=0；
当x₀=-3时，B（（-7，

49

4

），K_BC=-

3

2

，直线BC的方程为6x+4y-7=0；

点评：本题是中档题，考查动点的轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力．