Question

（1）若任意直线l过点F（0，1），且与函数f（x）=的图象C交于两个不同的点A，B，分别过点A，B作C的切线，两切线交于点M，证明：点M的纵坐标是一个定值，并求出这个定值；
（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，g（x）=alnx（a＞o）求实数a的取值范围；
（3）求证：，（其中e为无理数，约为2.71828）．

Answer 1

证明：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知AB的斜率必存在 设AB：y=kx+1代入y=
得 x²-4kx-4=0∴x₁x₂=-4
∵f（x）=∴f′（x）=
∴k_AM=，k_BM=，
∴AM：y-=（x-x₁），
化简得：AM：y=x-
同理：BM：y=x-，解得：y==-1
（2）令：F（x）=f（x）-g（x）=（a＞0，x＞0），
∴F′（x）==
令 F′（x）=0 得：x=
所以 当x∈（0，）时F′（x）＜0 即F（x）在区间（0，）上单调递减；
所以 当x∈（，+∞）时F′（x）＞0即即F（x）在区间（，+∞）上单调递增；
∴y=F（x）在x=时取得最小值，要f（x）≥g（x）恒成立，只要F（）≥0
即 ，解得a≤
（3）由（2）可知，取a=有≥ 化简得：
变形得：
∴＜（）
＜（）=（1-+-+…+-）=（1-）＜
分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分别求出在点A，B处的切线方程，求出两切线的交点M的纵坐标，即可得到结论；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），然后利用导数研究F（x）的最小值，使F（x）的最小值大于等于0即可，从而求出a的取值范围；
（3）由（2）可知，取a=有≥ 化简得：，再变形得：，然后利用叠加法，以及裂项求和法可证得结论．
点评：本题主要考查了恒成立问题，以及不等式的证明和裂项求和法的应用，同时考查了转化能力，属于难题．