【题目】圆周上有个白点,先将其中一个染为黑色(称为第一次染色),对任何正整数,第次染色后按逆时针方向间隔个点将下个点染成与原来颜色相反的颜色(称为第次染色).
(1)对给定正整数,是否存在正整数,使次染色后个点均为白色?
(2)对给定正整数,是否存在正整数,使次染色后个点均为黑色?
【答案】(1)存在(2) 不存在
【解析】
设个点按逆时针方向编号为1,2,…,.对固定的,记第次染色的点的编号为,称为染色数列.
不妨设.则
注意到,染色数列是二阶等差数列,即,其中编号在模意义下.
(1)显然,第次染色后个点均为白色,等价于染色数列的前项中每个数出现的次数均为偶数.分别考虑的情形,各染色数列如下表:
n | 最小次数 | ||||||||||
2 | 1 | 2 | |||||||||
3 | 1 | 3 | 4 | ||||||||
4 | 1 | 3 | 6 | ||||||||
5 | 1 | 3 | 8 | ||||||||
6 | 1 | 3 | 10 |
由此猜想, 个点时,经过次染色,全变成白色.
下面通过配对的方法证明:在前次染色中,第次与第次染同一个点,从而,每个点均被染偶数次(包括0次),均变为白色.
事实上,
(2)对任何正整数,均不存在正整数,使次染色后全部变黑.
首先, ,即染色数列(关于模)是以为周期的周期数列,且 (即第次与第次染色的是同个点).
事实上,.
考虑前次染色中染色的总次数,发现至少有一个点未染色.
由(1),知第次与第次染色的是同一个点,于是,在前次染色中,被染过色的点均至少染过两次颜色从而,至多有个点被染过颜色,即至少有个点从未被染过色,故前次染色中不可能出现全黑的情形.
而第次染色后全白,故,第次染色后只有一个黑子.又,第次染色后全白,于是,前次染色中不可能出现全黑的情形.
由周期性,任何时候均不可能出现全黑的情形.
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【题目】某地有10个著名景点,其中8 个为日游景点,2个为夜游景点.某旅行团要从这10个景点中选5个作为二日游的旅游地.行程安排为第一天上午、下午、晚上各一个景点,第二天上午、下午各一个景点.
(1)甲、乙两个日游景点至少选1个的不同排法有多少种?
(2)甲、乙两日游景点在同一天游玩的不同排法有多少种?
(3)甲、乙两日游景点不同时被选,共有多少种不同排法?
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【题目】已知函数,,给出如下四个命题:
①的单调递增区间为;
②时,的极小值点为;
③时,在上存在唯一零点;
④若在(为自然对数的底数)上的最小值为3,则.
其中的真命题有______.(填上你认为所有正确的结论序号
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【题目】已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率,椭圆上的点到焦点的最短距离为, 直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且.
(1)求椭圆方程;
(2)求的取值范围.
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【题目】如图所示的折线图为某小区小型超市今年1月份到5月份的营业额和支出数据(利润=营业额-支出),根据折线图,下列说法正确的是( )
A.该超市这五个月中的营业额一直在增长;
B.该超市这五个月的利润一直在增长;
C.该超市这五个月中五月份的利润最高;
D.该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关.
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【题目】已知函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
(1)当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥中,平面平面,,,,且.
(1)过作截面与线段交于点H,使得平面,试确定点H的位置,并给出证明;
(2)在(1)的条件下,若二面角的大小为,试求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】假设今天是4月23日,某市未来六天的空气质量预报情况如下图所示.该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天(4月24日~4月29日)内选择一天出游,甲只选择空气质量为优的一天出游,乙不选择周一出游,丙不选择明天出游,且甲与乙不选择同一天出游,则这三人出游的不同方法数为________.
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