Question

已知数列{a_n}为首项为1的等差数列，其公差d≠0，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

anan+1

，数列{b_n}的前n项和S_n，求S₂₀₁₃．

Answer 1

分析：（1）由已知条件，利用等差数列的通项公式和等比数列的性质能推导出（1+d）²=1×（1+4d），由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由a_n=2n-1，得到bn=

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂项求和法能求出S₂₀₁₃．

解答：解：（1）∵数列{a_n}为首项为1的等差数列，其公差d≠0，且a₁，a₂，a₅成等比数列，
∴（1+d）²=1×（1+4d），
解得d=2，或d=0（舍），
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵a_n=2n-1，
∴bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S₂₀₁₃=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

4025

-

1

4027

）=

2013

4027

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要熟练掌握等差数列、等比数列的性质，注意裂项求和法的合理运用．