Question

（2011•南通模拟）设函数f（x）=

2x，                           -2≤x＜0 g(x)-log5(x+ 5+x2 ) ，    0＜x≤2

，若f（x）为奇函数，则当0＜x≤2时，g（x）的最大值是

3

4

．

Answer 1

分析：由f（x）为奇函数，且-2≤x＜0时，f（x）=2^x有最小值为f（-2）=

1

4

，根据奇函数关于原点对称可知当0＜x≤2时，f（x）=g（x）-log₅（x+

5+x2

）有最大值为f（2）=-

1

4

，结合函数在0＜x≤2时，g（x）=f（x）+log₅（x+

5+x2

）为增函数，从而可求函数g（x）的最大值

解答：解：由于f（x）为奇函数，
当-2≤x＜0时，f（x）=2^x有最小值为f（-2）=2^-2=

1

4

，
故当0＜x≤2时，f（x）=g（x）-log₅（x+

5+x2

）有最大值为f（2）=-

1

4

，
而当0＜x≤2时，y=log₅（x+

5+x2

）为增函数，
考虑到g（x）=f（x）+log₅（x+

5+x2

），
∵0＜x≤2时，f（x）与y=log₅（x+

5+x2

）在x=2时同时取到最大值，
故[g（x）]_max=f（2）+log₅（2+

5+22

）=-

1

4

+1=

3

4

．
答案：

3

4

点评：本题主要考查了奇函数的关于原点对称的性质的应用，利用函数的单调性求解函数的最值，属于函数知识的灵活应用．