【题目】已知圆:关于直线:对称的圆为.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)过点作直线与圆交于,两点,是坐标原点,是否存在这样的直线,使得在平行四边形(和为对角线)中?若存在,求出所有满足条件的直线的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)存在直线和.
【解析】
试题
本题考查圆方程的求法和直线与圆的位置关系。(Ⅰ)根据对称公式求得圆的圆心即可得到结果。(Ⅱ)由得平行四边形为矩形,故.然后分直线的斜率存在与不存在两种情况,根据直线与圆的位置关系利用代数方法根据判断直线是否存在即可。
试题解析:
(Ⅰ)圆化为标准方程为,
设圆心关于直线:的对称点为,
由,解得:,
所以圆的圆心坐标为,半径为3.
故圆的方程为.
(Ⅱ)由,得平行四边形为矩形,
所以.
要使,必须满足.
①当直线的斜率不存在时,直线的方程为,
由解得或
直线与圆的两交点为,.
因为,
所以,
即直线:满足条件.
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为.
由消去y整理得
.
由于点在圆内部,所以恒成立,
设,
则,,
所以
,
整理得:
解得,
所以直线的方程为
综上可得,存在直线和,使得在平行四边形(和为对角线)中.
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【题目】如图所示的等腰梯形ABCD中,,,E为CD中点.若沿AE将三角形DAE折起,并连接DB,DC,得到如图所示的几何体D-ABCE,在图中解答以下问题:
(1)设G为AD中点,求证:平面GBE;
(2)若平面平面ABCE,且F为AB中点,求证:.
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【题目】在四面体ABCD中,与都是边长为8的正三角形,点O是线段BC的中点.
(1)证明:.
(2)若为锐角,且四面体ABCD的体积为求侧面ACD的面积.
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【题目】已知数列满足,且,
(1)求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记,求;
(3)是否存在实数k,使得对任意都成立?若存在,求实数k的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】某生产基地有五台机器,现有五项工作待完成,每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示.若每台机器只完成一项工作,且完成五项工作后获得的效益值总和最大,则下列叙述错误的的是_____________.
①甲只能承担第四项工作
②乙不能承担第二项工作
③丙可以不承担第三项工作
④丁可以承担第三项工作
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【题目】在含有个元素的集合中,若这个元素的一个排列(,,…,)满足,则称这个排列为集合的一个错位排列(例如:对于集合,排列是的一个错位排列;排列不是的一个错位排列).记集合的所有错位排列的个数为.
(1)直接写出,,,的值;
(2)当时,试用,表示,并说明理由;
(3)试用数学归纳法证明:为奇数.
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【题目】已知抛物线:,不过坐标原点的直线交于,两点.
(Ⅰ)若,证明:直线过定点;
(Ⅱ)设过且与相切的直线为,过且与相切的直线为.当与交于点时,求的方程.
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