【题目】已知f(x)=x|x﹣a|+2x﹣3,其中a∈R
(1)当a=4,2≤x≤5时,求函数f(x)的最大值和最小值,并写出相应的x的值.
(2)若f(x)在R上恒为增函数,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:∵f(x)=x|x﹣a|+2x﹣3,
∴当a=4时, ;
作图如下:
由图知,当x=5时,f(x)max=f(5)=52﹣2×5﹣3=12;
当x=2或4时,f(x)min=f(2)=f(4)=﹣22+6×2﹣3=5,
(2)解: ,
∵f(x)在R上恒为增函数,
∴ ,解得﹣2≤a≤2.
∴实数a的取值范围是[﹣2,2].
【解析】(1)化为分段函数,利用函数的增减性求得最值;(2)通过讨论a的取值,化为分段函数后由函数的单调性列出不等式求得.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数单调性的性质(函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集).
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)经过点(2, )且离心率等于 ,点A,B分别为椭圆C的左右顶点,点P在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)M,N是椭圆C上非顶点的两点,满足OM∥AP,ON∥BP,求证:三角形MON的面积是定值.
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【题目】下列命题一定正确的是( )
A.在等差数列{an}中,若ap+aq=ar+aδ , 则p+q=r+δ
B.已知数列{an}的前n项和为Sn , 若{an}是等比数列,则Sk , S2k﹣Sk , S3k﹣S2k也是等比数列
C.在数列{an}中,若ap+aq=2ar , 则ap , ar , aq成等差数列
D.在数列{an}中,若ap?aq=a ,则ap , ar , aq成等比数列
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.
(1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请补全函数f(x)的图象,并根据图象写出函数f(x)(x∈R)的递增区间;
(2)写出函数f(x)(x∈R)的值域;
(3)写出函数f(x)(x∈R)的解析式.
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【题目】甲、乙两名运动员进行射击训练,已知他们击中目标的环数均稳定在7,8,9,10环,且每次射击成绩互不影响,射击环数的频率分布表如表:
甲运动员
射击环数 | 频数 | 频率 |
7 | 10 | |
8 | 10 | |
9 | x | |
10 | 30 | y |
合计 | 100 | 1 |
乙运动员
射击环数 | 频数 | 频率 |
7 | 6 | |
8 | 10 | |
9 | z | 0.4 |
10 | ||
合计 | 80 |
如果将频率视为概率,回答下面的问题:
(1)写出x,y,z的值;
(2)求甲运动员在三次射击中,至少有一次命中9环(含9环)以上的概率;
(3)若甲运动员射击2次,乙运动员射击1次,用ξ表示这三次中射击击中9环的次数,求ξ的概率分布列及Eξ.
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【题目】已知集合A={x|x≤﹣1或x≥5},集合B={x|2a≤x≤a+2}.
(1)若a=﹣1,求A∩B和A∪B;
(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=2sinxsin(x+3φ)是奇函数,其中φ∈(0, ),则函数g(x)=cos(2x﹣φ)的图象( )
A.关于点( ,0)对称
B.可由函数f(x)的图象向右平移 个单位得到
C.可由函数f(x)的图象向左平移 个单位得到
D.可由函数f(x)的图象向左平移 个单位得到
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【题目】若关于x的不等式|3x+2|+|3x﹣1|﹣t≥0的解集为R,记实数t的最大值为a.
(1)求a;
(2)若正实数m,n满足4m+5n=a,求 的最小值.
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