Question

已知抛物线C₁的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一个焦点F₁且垂直于C₂的两个焦点所在的轴，若抛物线C₁与双曲线C₂的一个交点是M(

2

3

，

2 6

3

)．
（1）求抛物线C₁的方程及其焦点F的坐标；
（2）求双曲线C₂的方程及其离心率e．

Answer 1

分析：（1）先出抛物线方程，然后将点M的坐标代入可求出抛物线方程，从而求出焦点坐标；
（2）根据抛物线的准线方程求双曲线的焦点坐标，然后根据双曲线的定义可求出a，从而求出双曲线的方程，最后求出双曲线的离心率．

解答：解：（1）由题意可设抛物线C₁的方程为y²=2px．               （2分）
把M(

2

3

，

2 6

3

)代入方程y²=2px，得p=2（4分）
因此，抛物线C₁的方程为y²=4x．                            （5分）
于是焦点F（1，0）（7分）
（2）抛物线C₁的准线方程为x=-1，
所以，F₁（-1，0）（8分）
而双曲线C₂的另一个焦点为F（1，0），于是2a=|MF1-MF|=|

7

3

-

5

3

|=

2

3

因此，a=

1

3

（10分）
又因为c=1，所以b2=c2-a2=

8

9

．于是，双曲线C₂的方程 为

x2

1 9

-

y2

8 9

=1（12分）
因此，双曲线C₂的离心率e=3．                   （14分）

点评：本题主要考查了抛物线的标准方程以及双曲线的离心率等有关知识，是一道综合题．