Question

9．已知数列{a_n}，{b_n}满足2S_n=（a_n+2）b_n，其中S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）若数列{a_n}是首项为$\frac{2}{3}$，公比为-$\frac{1}{3}$的等比数列，求数列{b_n}的通项公式；
（2）若b_n=n，a₂=3，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由等比数列可得a_n=$\frac{2}{3}$•（-$\frac{1}{3}$）^n-1，S_n=$\frac{\frac{2}{3}（1-（-\frac{1}{3}）^{n}）}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$（1-（-$\frac{1}{3}$）ⁿ），从而化简解得b_n=$\frac{1}{2}$；
（2）易知2S_n=（a_n+2）n，从而可得a₁=2，a₂=3，当n≥3时，由2S_n=（a_n+2）n，2S_n-1=（a_n-1+2）（n-1）作差化简可得$\frac{{a}_{n}}{n-1}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-2}$+$\frac{2}{（n-1）（n-2）}$=0，从而利用裂项求和法求解．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是首项为$\frac{2}{3}$，公比为-$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴a_n=$\frac{2}{3}$•（-$\frac{1}{3}$）^n-1，S_n=$\frac{\frac{2}{3}（1-（-\frac{1}{3}）^{n}）}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$（1-（-$\frac{1}{3}$）ⁿ），
∴2•$\frac{1}{2}$（1-（-$\frac{1}{3}$）ⁿ）=（$\frac{2}{3}$•（-$\frac{1}{3}$）^n-1+2）b_n，
∴（1-（-$\frac{1}{3}$）ⁿ）=2（（1-（-$\frac{1}{3}$）ⁿ））b_n，
∴b_n=$\frac{1}{2}$；
（2）∵b_n=n，
∴2S_n=（a_n+2）n，
①当n=1时，2a₁=a₁+2，
故a₁=2；
②当n=2时，a₂=3，
③当n≥3时，
2S_n=（a_n+2）n，
2S_n-1=（a_n-1+2）（n-1），
故2a_n=（a_n+2）n-（a_n-1+2）（n-1），
故（n-2）a_n-（n-1）a_n-1+2=0，
故$\frac{{a}_{n}}{n-1}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-2}$+$\frac{2}{（n-1）（n-2）}$=0，
故$\frac{{a}_{n}}{n-1}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-2}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n-2}$），
故$\frac{{a}_{3}}{2}$-$\frac{{a}_{2}}{1}$=2（$\frac{1}{2}$-1），
$\frac{{a}_{4}}{3}$-$\frac{{a}_{3}}{2}$=2（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$），
…
$\frac{{a}_{n}}{n-1}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-2}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n-2}$），
故$\frac{{a}_{n}}{n-1}$-$\frac{{a}_{2}}{1}$=2（$\frac{1}{n-1}$-1），
故$\frac{{a}_{n}}{n-1}$=2（$\frac{1}{n-1}$-1）+3=$\frac{n+1}{n-1}$，
故a_n=n+1，
a₁=2，a₂=3也满足a_n=n+1，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=n+1．

点评 本题考查了等比数列的应用及分类讨论的思想应用，同时考查了学生的化简运算的能力及裂项求和法的应用．