Question

设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，O为坐标原点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．

Answer 1

解：（I）由，∴．
由右焦点到直线的距离为，
得：，
解得．
所以椭圆C的方程为．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程为y=kx+m，
与椭圆联立消去y得3x²+4（k²x²+2kmx+m²）-12=0，．
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0．
即（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，∴，
整理得7m²=12（k²+1）
所以O到直线AB的距离．为定值
∵OA⊥OB，∴OA²+OB²=AB²≥2OA•OB，
当且仅当OA=OB时取“=”号．
由，
∴，
即弦AB的长度的最小值是．
分析：（I）利用离心率求得a和c的关系式，同时利用点到直线的距离求得a，b和c的关系最后联立才求得a和b，则椭圆的方程可得．
（II）设出A，B和直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用OA⊥OB推断出x₁x₂+y₁y₂=0，
求得m和k的关系式，进而利用点到直线的距离求得O到直线AB的距离为定值，进而利用基本不等式求得OA=OB时AB长度最小，最后根据求得AB的坐标值．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题的能力和基本的运算能力．