(Ⅰ)证明,其中k为整数;
(Ⅱ)设为的一个极值点,证明;
(Ⅲ)设在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,证明.
22. (Ⅰ)证明:由函数f(x)的定义,对任意整数k,有
f(x+2kπ)-f(x)=(x+2kπ)sin(x+2kπ)-x sin x
=(x+2kπ)sin x-x sin x
=2kπsin x
(Ⅱ)证明:函数f(x)在定义域R上可导,
f’(x)= sin x + x cos x.
令f’(x)=0,得sin x + x cos x=0
显然,对于满足上述方程的x有cosx≠0,上述方程化简为x=-tanx. 如图所示,此方程一定有解,f(x)的极值点x0一定满足tan x0=-x0
由sin2x=
=,得
sin2x0=
因此,
[f(x0)]2=x02sin2x2=
(Ⅲ)证明:设x0>0是f’(x)=0的任意正实根,即x0=-tanx0,则存在一个非负整数k,使 x0∈(+kπ, π+kπ),
即x0在第二或第四象限内,由①式,f’(x)=cos x(tan x+x)在第二象限或第四象限中的符号可列表如下:
x | (+kπ, x0) | x0 | (x0, π+kπ) | |
f’(x)的符号 | k为奇数 | - | 0 | + |
k为偶数 | + | 0 | - |
所以满足f’(x)=0的正根x0都为f(x)的极值点
由题设条件,a1,a2,…an,…为方程x=-tan x 的全部正实根且满足
a12<…an<…,
那么对于n=1,2,…,
an+1-an=-(tan a n+1- tan an)
= -(1+tan an+1·tan an)tan(an+1-an) ②
由于+(n-1)π<an<π+(n-1)π, +nπ<an+1<π+nπ
,则
< an+1 -an<
由于tan an+1·tan an>0,由②式知tan (a n+1-an)<0.由此可知an+1-an必在第二象限,
即 an+1-an<π
综上,< an+1-an<π.
科目:高中数学 来源:2012-2013学年江苏省泰州中学高三(上)期中数学试卷(解析版) 题型:解答题
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年江苏省泰州中学高三(上)期中数学试卷(解析版) 题型:解答题
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科目:高中数学 来源:2013届广东省罗定市高二下学期期中质量检测理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
设函数.
(I)证明:是函数在区间上递增的充分而不必要的条件;
(II)若时,满足恒成立,求实数的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2011年广东省高一上学期期中考试数学 题型:解答题
(本小题满分14分)
设函数,
(1)用定义证明:函数是R上的增函数;(6分)
(2)证明:对任意的实数t,都有;(4分)
(3)求值:。(4分)
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