Question

4．已知x、y满足以下约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥5}\\{x-y+5≤0}\\{x≤3}\end{array}\right.$，若z=x+ay（a＞0）取得最小值为$\frac{5}{2}$，则a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使目标函数的最小值为$\frac{5}{2}$，然后根据条件即可求出a的值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+ay（a＞0）得y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
∵a＞0，∴目标函数的斜率k=-$\frac{1}{a}$＜0．
平移直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
由图象可知当直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$和直线AB：x+y=5相交时，此时目标函数取得最小值为$\frac{5}{2}$，
此时由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=5}\\{x-y+5=0}\end{array}\right.$得A（0，5），所以5a=$\frac{5}{2}$，即a=$\frac{1}{2}$．即目标函数为z=x+$\frac{1}{2}$y，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．