Question

17．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=e^x+m，其中e=2.718…．
（1）求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当m≥-2时，证明：f（x）＜g（x）．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程；
（2）讨论0＜x≤1，由f（x）≤0，g（x）＞0，显然成立；x＞1时，求得f（x）的最大值和g（x）的最小值，即可判断．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
则f（x）在x=1处的切线斜率为1，切点为（1，0），
则f（x）在x=1处的切线方程为y=x-1；
（2）由函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当0＜x≤1时，f（x）＜0，g（x）=e^x+m＞0，f（x）＜g（x）成立；
当1＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=e处取得极大值，且为最大值$\frac{1}{e}$；
而x＞1，m≥-2时，g（x）=e^x+m＞$\frac{1}{e}$，即有f（x）＜g（x）．
综上可得，当m≥-2时，f（x）＜g（x）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查不等式恒成立问题的解法，注意转化为求最值，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．