Question

9．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2acosx，sinx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，bcosx），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，若函数f（x）的图象在y轴上的截距为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，与y轴最邻近的最高点是（$\frac{π}{12}$，1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设A为三角形的一个内角，且f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求3sin²A-2sinAcosA的值．

Answer 1

分析 （1）由平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用可得f（x）=acos2x+$\frac{b}{2}$sin2x+a-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由点（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在函数图象上，可解得a，又由题意点（$\frac{π}{12}$，1）在函数图象上，代入可解得b，即可求得函数f（x）的解析式．
（2）由已知及（1）可求sinA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，结合范围A∈（0，π），可得cosA，代入所求即可得解．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（2acosx，sinx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，bcosx），
∴函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2acos²x+bsinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=acos2x+$\frac{b}{2}$sin2x+a-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵函数f（x）的图象在y轴上的截距为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即点（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在函数图象上，
∴f（0）=acos0+$\frac{b}{2}$sin0+a-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=a+a-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{b}{2}$sin2x，
∵由题意点（$\frac{π}{12}$，1）在函数图象上，
∴f（$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$\frac{π}{6}$+$\frac{b}{2}$sin$\frac{π}{6}$=1，解得b=1，
∴函数f（x）的解析式为：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）∵f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=sin[2（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=sinA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴由A∈（0，π），可得cosA=$±\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴3sin²A-2sinAcosA=3×$\frac{4}{5}$-2×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×（±$\frac{\sqrt{5}}{5}$）=$\frac{8}{5}$或$\frac{16}{5}$．

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦函数的图象和性质及计算能力，属于中档题．