Question

设f（x）=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求x₂，x₃，x₄的值；
（Ⅱ）归纳{x_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据设f(x)=

2x

x+2

，x₁=1，x_n=f（x_n-1），分别令n=2，3，4时，代入已知条件即可求得结果；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，可以归纳出{x_n}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答：解：（Ⅰ）x2=f(x1)=

2

3

，
x3=f(x2)=

2× 2 3

2 3 +2

=

1

2

=

2

4

，
x4=f(x3)=

2× 1 2

1 2 +2

=

2

5

．
（Ⅱ）根据计算结果，可以归纳出 xn=

2

n+1

．
当n=1时，x1=

2

1+1

=1，与已知相符，归纳出的公式成立．
假设当n=k（k∈N^*）时，公式成立，即xk=

2

k+1

，
那么，xk+1=

2xk

xk+2

=

2× 2 k+1

2 k+1 +2

=

4

2k+4

=

2

(k+1)+1

．
所以，当n=k+1时公式也成立．
综上，xn=

2

n+1

对于任何n∈N^*都成立．

点评：本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式，是数学归纳法证明问题的核心和关键．