Question

给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=[（f′（x）]′．若f^”（x）＞0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凹函数．以下四个函数在(0，

π

2

)上不是 凹函数的是（　　）

• A、f（x）=1-sinx
• B、f（x）=e^x-2x
• C、f（x）=x³-x²-1
• D、f（x）=-xe^-x

Answer 1

分析：由题目中的信息可知，分别将四个选项中的函数求导，再求导．再判断f“（x）是否大于0即可．

解答：解：A中，f′（x）=-cosx，f“（x）=sinx，则f“（x）＞0在(0，

π

2

)上恒成立．∴A 中函数是凸函数．
B中，f′（x）=e^x-2，f“（x）=e^x，则f“（x）＞0在(0，

π

2

)上恒成立．∴B中函数是凸函数．
C中，f′（x）=3x²-2x，f“（x）=6x-2，当0＜x＜

1

3

时，f“（x）＜0，故不是凸函数．
D中，f'（x）=（x-1）e^-x，f“（x）=（2-x）e^-x，则f“（x）＞0在(0，

π

2

)上恒成立．∴D中函数也为凸函数．

点评：本题属于信息题，实际上是将高等数学的内容作为信息介绍给学生，考查考生的信息处理能力．这也是当今高考考题的一个趋势．