Question

如图，梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=CB=

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AB，E是AB的中点，将△ADE沿DE折起，使点A折到点P的位置，且二面角P-DE-C的大小为120°．
（1）求证：DE⊥PC；
（2）求直线PD与平面BCDE所成角的大小；
（3）求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

分析：（1）由题意CD∥AB，得到∠BAC=∠ACD，再有变长的相等的角的相等及特殊的三角形得到线线垂直，在有线线垂直的线面垂直进而推出线线垂直；
（2）利用二面角的平面角定义找到二面角的平面角，然后在Rt△POD中解出二面角的大小即可；
（3）利用线面平行进而把点D转化为点F到面得距离，在利用面面垂直得到垂足的位置，然后在三角形中解出所求线段的长度．

解答：证明：（1）连接AC交DE于F，连接PF，
∵CD∥AB，∴∠BAC=∠ACD，
又∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD，
∴∠BAC=∠DAC，即CA平分∠BAD，
∵△ADE是正三角形，
∴AC⊥DE，即PF⊥DE，CF⊥DE，
∴DE⊥面PCF，∴DE⊥PC
（2）解：过P作PO⊥AC于O，连接OD，设AD=DC=CB=a，则AB=2a，
∵DE⊥面PCF，∴DE⊥PO，∴PO⊥面BCDE，
∴∠PDO就是直线PD与平面BCDE所成的角．
∵∠PFC是二面角P-DE-C的平面角，
∴∠PFO=60°，在Rt△POD中，sin∠PDO=

PO

PD

=

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4

，∴直线PD与平面BCDE所成角是arcsin

3

4

（3）解：∵DE∥BC，DE在平面PBC外，
∴DE∥面PBC，∴D点到面PBC的距离即为点F到面PBC的距离，过点F作FG⊥PC，垂足为G，
∵DE⊥面PCF，∴BC⊥面PCF∴面PBC⊥面PCF，∴FG⊥面PBC，
∴FG的长即为点F到面PBC的距离，菱形ADCE中，AF=FC，
∴PF=CF=

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a，∵∠PFC=120°，∴∠FPC=∠FCP=30°，
∴FG=

1

2

PF=

3

4

a

点评：此题重点考查了学生的空间想想能力，还考查了利用线面平行的性质，把要求的点到面得距离转化为易求的点到面得距离，并利用面面垂直找到点在面内的垂足的位置，此外还考查了学生利用反三角函数的知识表示角的大小．