Question

定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数x₁、x₂，总有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，则必有（　　）

A．函数f（x）是先增加后减少

B．函数f（x）是先减少后增加

C．f（x）在R上是增函数

D．f（x）在R上是减函数

Answer 1

分析：根据

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，说明分子分母同号，即自变量与函数值变化方向一致，由函数单调性的定义即可进行判断，从而得到正确答案．

解答：解：∵定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数x₁、x₂，总有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，
∴（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，
∴当x₁＜x₂时，f（x₁）-f（x₂）＜0，
即当x₁＜x₂时，f（x₁）＜f（x₂），
根据函数单调性的定义可知，f（x）在R上为单调递增函数．
故选：C．

点评：本题考查了函数的单调性的判断与证明，函数单调性的性质．函数单调性的证明一般选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于中档题．