Question

如图，已知平行四边形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点．
（Ⅰ）求证：GH∥平面CDE；
（Ⅱ）当四棱锥F-ABCD的体积取得最大值时，求平面ECF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明GH∥平面CDE，利用项目平行的判定，只需证明HG∥CD即可；
（Ⅱ）利用平面ADEF⊥平面ABCD，证明FA⊥平面ABCD，根据BD⊥CD，BC=2，CD=x，可求V（x）=

1

3

SABCD×FA=

2

3

x

4-x2

（0＜x＜2），要使V（x）取得最大值，只须

x2(4-x2)

（0＜x＜2）取得最大值，利用基本不等式可求．在平面DBC内过点D作DM⊥BC于M，连接EM，可得∠EMD是平面ECF与平面ABCD所成的二面角的平面角，由此可求平面ECF与平面ABCD所成的二面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：∵EF∥AD，AD∥BC
∴EF∥BC且EF=AD=BC
∴四边形EFBC是平行四边形
∴H为FC的中点-------------（2分）
又∵G是FD的中点，∴HG∥CD
∵HG?平面CDE，CD?平面CDE
∴GH∥平面CDE---------------------------------（4分）
（Ⅱ）解：∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD．
∵BD⊥CD，BC=2，CD=x
∴FA=2，BD=

4-x2

（0＜x＜2）------------（6分）
∴SABCD=CD•BD=x

4-x2

∴V（x）=

1

3

SABCD×FA=

2

3

x

4-x2

（0＜x＜2）------------（8分）
要使V（x）取得最大值，只须

x2(4-x2)

（0＜x＜2）取得最大值，
∵

x2(4-x2)

≤

x2+(4-x2)

2

=2，当且仅当x²=4-x²，即x=

2

时，V（x）取得最大值
在平面DBC内过点D作DM⊥BC于M，连接EM
∵BC⊥ED，∴BC⊥平面EMD，∴BC⊥EM
∴∠EMD是平面ECF与平面ABCD所成的二面角的平面角-------（10分）
∵当V（x）取得最大值时，CD=

2

，DB=

2

∴DM=

1

2

BC=1，EM=

5

∴sin∠EMD=

ED

EM

=

2 5

5

即平面ECF与平面ABCD所成的二面角的余弦值为

5

5

．------------------------------（12分）

点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查棱锥体积的计算，解题的关键是掌握线面平行的判定，正确作出面面角．