Question

下列关于函数f(x)=

1+x2 +x-1

1+x2 +x+1

的五个结论：
①函数f（x）的定义域是R
②函数f（x）的值域是（-1，1）
③函数f（x）是奇函数
④函数f（x）在R上是单调增函数
⑤函数f（x）有极值
其中正确结论的序号是

①②③④

．

Answer 1

分析：首先求出函数的定义域，依据函数性质对五个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．

解答：解：由于函数f(x)=

1+x2 +x-1

1+x2 +x+1

的分母恒不为0，则函数f（x）的定义域是R，故①为真命题；
由于f（x）=

1+x2 +x+1-2

1+x2 +x+1

=1-

2

1+x2 +x+1

，则函数f（x）的值域是（-1，1），故②为真命题；
由于f（-x）=

1+x2 -x-1

1+x2 -x+1

=

1- 1+x2

x

，-f（x）=-

1+x2 +x-1

1+x2 +x+1

=

1- 1+x2

x

，f（0）=0，则函数f（x）是奇函数，故③为真命题；
由于函数f(x)=

1+x2 +x-1

1+x2 +x+1

=

x

x2+1 +1

，则f′（x）＞0恒成立，故函数f（x）在R上是单调增函数，函数f（x）没有极值，故④为真命题；⑤为假命题．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，函数的定义域及其求法，函数的值域和函数的零点，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力．