Question

14．已知|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=4，k为何值时，向量$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$平行．

Answer 1

分析 根据零向量和任何向量平行，及共线向量基本定理便可分成这样几种情况求k的值：$①\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，$②\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，③$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}$都不为零向量，对于前两种情况容易求出k=$±\frac{3}{4}$，而第3种情况可根据共线向量和平面向量基本定理求出k的值，这样便可得出使向量$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}$平行的k的值．

解答 解：①若$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{a}=-k\overrightarrow{b}$；
∴$|\overrightarrow{a}|=|-k\overrightarrow{b}|=|k||\overrightarrow{b}|$；
∴3=4|k|；
∴$k=±\frac{3}{4}$；
此时$\overrightarrow{0}$和$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}$平行；
②同理，$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$时，可得k=$±\frac{3}{4}$；
此时$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{0}$平行；
③当$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$不共线时，$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}$都不是零向量；
这两向量平行，则：存在实数λ，使$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}=λ（\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}）$；
∴$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}=λ\overrightarrow{a}-λk\overrightarrow{b}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=1}\\{-λk=k}\end{array}\right.$；
∴k=0；
综上得k=0，或$±\frac{3}{4}$时，向量$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}$平行．

点评 考查零向量和任何向量平行，共面向量及平面向量基本定理，不要漏了讨论$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}$为零向量的情况．