Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，a∈R，a≠0． （Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＞3；
（Ⅱ）若b∈R，且b≠0，证明：f（b）≥f（a），并说明等号成立的条件．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为a=1，不等式变为|x﹣2|+|x﹣1|＞3， 当x＞2时，有2x﹣3＞3，
∴x＞3
当1≤x≤2时，有2﹣x+x﹣1＞3，
∴x∈φ
当x＜1时，有3﹣2x＞3，
∴x＜0
所以该不等式的解集为（﹣∞，0）∪（3，+∞）
证明：（Ⅱ）由题知f（a）=|a|，
f（b）=|b﹣2a|+|b﹣a|=|2a﹣b|+|b﹣a|
≥|2a﹣b+b﹣a|=|a|
即f（b）≥f（a），
所以等号成立的条件是：当且仅当2a﹣b与b﹣a同号或它们至少有一个为零
【解析】（I）将a=1代入，不等式化为具体的绝对值不等式，然后讨论解之；（Ⅱ）由题知f（a）=|a|，f（b）=|b﹣2a|+|b﹣a|=|2a﹣b|+|b﹣a|≥|2a﹣b+b﹣a|=|a|，得证．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．