Question

抛物线C的方程为y=ax²（a＜0），过抛物线C上一点P（x₀，y₀）（x₀≠0）作斜率为k₁，k₂的两条直线分别交抛物线C于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点（P，A，B三点互不相同），且满足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1）．
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足

BM

=λ

MA

，证明线段PM的中点在y轴上；
（Ⅲ）当λ=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y₁的取值范围．

Answer 1

分析：（1）数形结合，依据抛物线C的标准方程写焦点坐标和准线方程．
（2）先依据条件求出点M的横坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，证明x_M+x₀=0．
（3）∠PAB为钝角时，必有

AP

•

AB

＜0．用k_1^表示y_1，^通过k_{1^{的范围来求y1的范围．}}

解答：解：（Ⅰ）由抛物线C的方程y=ax²（a＜0）得，焦点坐标为（0，

1

4a

），准线方程为y=-

1

4a

．
（Ⅱ）证明：设直线PA的方程为y-y₀=k₁（x-x₀），直线PB的方程为y-y₀=k₂（x-x₀）．
点P（x₀，y₀）和点A（x₁，y₁）的坐标是方程组

y-y0=k1(x-x0) ① y=ax2 ②

的解．
将②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，于是x₁+x₀=

k1

a

，故x₁=

k1

a

-x₀ ③．
又点P（x₀，y₀）和点B（x₂，y₂）的坐标是方程组

y-y0=k2(x-x0) ④ y=ax2 ⑤

 的解．
将⑤式代入④式得ax²-k₂x+k₂x₀-y₀=0．于是x₂+x₀=

k2

a

，故x₂=

k2

a

-x₀．
由已知得，k₂=-λk₁，则x₂=-

λ

a

k1-x₀． ⑥
设点M的坐标为（x_M，y_M），由

BM

=λ

MA

，可得 x_M=

x2+λx1

1+λ

．
将③式和⑥式代入上式得x_M=

-x0-λx0

1+λ

=-x₀，
即x_M+x₀=0．所以线段PM的中点在y轴上．
（Ⅲ）因为点P（1，-1）在抛物线y=ax²上，所以a=-1，抛物线方程为y=-x²．
由③式知x₁=-k₁-1，代入y=-x² 得 y₁=-（k₁+1）²．
将λ=1代入⑥式得   x₂=k₁-1，代入y=-x²得   y₂=-（k₂+1）²．
因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A（-k₁-1，-k₁²-2k₁-1），B（k₁-1，-k₁²+2k₁-1）．
于是

AP

=（k₁+2，k₁²+2k₁），

AB

=（2k₁，4k₁），

AP

•

AB

=2k₁（k₁+2）+4k₁（k₁²+2k₁）=2（k₁+2）（2+k₁1）．
因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有

AP

•

AB

＜0．
求得k₁的取值范围是k₁＜-2，或-

1

2

＜k₁＜0．
又点A的纵坐标y₁满足y₁=-（k₁+1）²，故当k₁＜-2时，y₁＜-1；当-

1

2

＜k₁＜0时，-1＜y＜-

1

4

．
即y₁∈（-∞，-1）∪（-1，-

1

4

）．

点评：本题综合考查直线和圆锥曲线位置关系，训练学生的综合应用知识解决问题的能力，属于中档题．