Question

已知函数f（x）=2asinxcosx-2bsin²x+b（a、b为常数，且a＜0）的图象过点（0，），且函数f（x）的最大值为2．
（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出其单调递增区间；
（2）把函数y=f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位，使所得的图象关于y轴对称，求实数m的最小值及平移后图象所对应的函数解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由倍角的正弦公式对解析式化简，再把条件：最大值和图象上点得坐标代入列出方程进行求出a和b，代入化简后的解析式，利用两角和的余弦公式化简，再由余弦函数的增区间和“整体思想”求解；
（2）由题意得平移后的函数应是余弦型的函数，再由（1）求出的解析式和平移法则求出m的最小值和解析式．
解答：解：（1）由题意得f（x）=asin2x-b（1-cos2x）+b=asin2x+bcos2x，
∴f（x）的最大值为，即  ①
∵图象过点（0，），∴   ②，
由①②解得a²=1，又∵a＜0，∴a=-1，
∴=，
由2kπ-π≤≤2kπ（k∈Z）得，≤x，
∴y=f（x）的递增区间是[，]（k∈z），
（2）把函数的图象向右平移个单位，得y=2cos2x的图象关于y轴对称，所以正数m_min=，
故平移后的图象对应的函数解析式为：y=2cos2x．
点评：本题考查了余弦函数性质的应用和三角函数图象的平移变换，以及倍角的正弦公式、两角和的余弦公式在化简解析式中的应用．