Question

3．已知函数$f（x）=\frac{lnx}{x}，g（x）=x（{lnx-\frac{ax}{2}-1}）$．
（1）求y=f（x）的最大值；
（2）当$a∈[{0，\frac{1}{e}}]$时，函数y=g（x），（x∈（0，e]）有最小值． 记g（x）的最小值为h（a），求函
数h（a）的值域．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=$\frac{1-lnx}{x2}$（x＞0），通过判断函数的单调性，求解函数的最大值即可．
（2）求出g′（x）=lnx-ax=x（$\frac{lnx}{x}$-a），由（1）及x∈（0，e]：通过①当a=$\frac{1}{e}$时，②当a∈[0，$\frac{1}{e}$），分别求解函数的单调性与最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-lnx}{x2}$（x＞0），
当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x=e时，f（x）取得最大值f（e）=$\frac{1}{e}$．…（4分）
（2）g′（x）=lnx-ax=x（$\frac{lnx}{x}$-a），由（1）及x∈（0，e]得：
①当a=$\frac{1}{e}$时，$\frac{lnx}{x}$-a≤0，g′（x）≤0，g（x）单调递减，
当x=e时，g（x）取得最小值g（e）=h（a）=-$\frac{e}{2}$．…（6分）
②当a∈[0，$\frac{1}{e}$），f（1）=0≤a，f（e）=$\frac{1}{e}$＞a，
所以存在t∈[1，e），g′（t）=0且lnt=at，
当x∈（0，t）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（t，e]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）的最小值为g（t）=h（a）．…（9分）
令h（a）=G（t）=$\frac{tlnt}{2}$-t，
因为G′（t）=$\frac{lnt-1}{2}$＜0，所以G（t）在[1，e）单调递减，此时G（t）∈（-$\frac{e}{2}$，-1]．
综上，h（a）∈[-$\frac{e}{2}$，-1]．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．