Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=A₁A，D为C₁C的中点，O为A₁B与AB₁的交点．
（1）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（2）若点E为AO的中点，求证：EC∥平面A₁BD．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知可连接OD证明DO⊥线AB₁，以及AB₁⊥A₁B，，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；
（2）本题采取构造平行四边形的方法证明面外一线与面内一线平行，观察发现，若取M为线段A₁O的中点，易证得ME

∥

.

CD，即得?MEDC，从而得到线面平行的条件MD∥CE，再用线面平行的定理得出结论即可．

解答：解：（1）证明：如图，由已知O是面AB₁的中心，
由于面AB₁是正方形，故AB₁⊥A₁B，
连接OD，由于D是中点，可得DA₁=DB，由此得等腰三角形DA₁B，由于DO是此等腰三角形的中线，故有DO⊥面₁AB，由线面垂直的性质定理可得DO⊥线AB₁，
由于AB₁∩DO=O，AB₁，DO?平面A₁BD，故有AB₁⊥平面A₁BD；
（2）在图形中取M为线段A₁O的中点，连接ME，MD，
由于E为AO的中点，故ME是中位线，所以有ME

∥

.

1

2

A₁A，
又D是CC₁的中点，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中有CD

∥

.

1

2

A₁A
故得ME

∥

.

CD，即得?MEDC
∴MD∥CE，
又DM?平面A₁BD，CE

?

≠

平面A₁BD，
∴EC∥平面A₁BD．

点评：本题考查用线面平行的判定定理证明线面平行以及用线面垂直证明线面垂直，是立体几何中两个基本题型．在本题中证明线面平行时需要构造出平行四边形来证明线线平行，对答题者识图判图的能力要求较高．立体几何的证明，主要是考查空间立体感知能力，正确作辅助线的能力是这种能力的一种体现．