【题目】已知函数.
(1)求函数的最大值;
(2)若函数与
有相同极值点.
①求实数的值;
②若对于(
为自然对数的底数),不等式
恒成立,
求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(ⅰ)1; (ⅱ)
.
【解析】
试题(1)求导函数,确定函数的单调性,从而得函数的最大值;(2)(ⅰ)求导函数,利用函数
与
有相同极值点,可得
是函数
的极值点,从而求解
的值;(ⅱ)先求出
,
,
,
,
,再将对于
,不等式
恒成立,等价变形,分类讨论,即可求解实数
的取值范围.
试题解析:(1),
由得
,由
得
,
∴在
上为增函数,在
上为减函数,
∴函数的最大值为
;
(2)∵,∴
,
(Ⅰ)由(1)知,是函数
的极值点,又∵函数
与
有相同极值点,
∴是函数
的极值点,∴
,解得
,
经检验,当时,函数
取到极小值,符合题意;
(ⅱ)∵,
,
, ∵
, 即
,∴
,
,
由(ⅰ)知,∴
,当
时,
,当
时,
,
故在
为减函数,在
上为增函数,∵
,
而,∴
,∴
,
,
①当,即
时,对于
,不等式
恒成立
,
∵,∴
,又∵
,∴
,
②当,即
时,对于
,不等式
,
,
∵,∴
,又∵
,
∴.综上,所求的实数
的取值范围为
.
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【题目】已知抛物线:
和直线
:
,
是直线上
一点,过点
做抛物线的两条切线,切点分别为
,
,
是抛物线上异于
,
的任一点,抛物线在
处的切线与
,
分别交于
,
,则
外接圆面积的最小值为______.
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【题目】如果一个棱锥的底面是正方形,且顶点在底面内的射影是底面的中心,那么这样的棱锥叫正四棱锥.若一正四棱锥的体积为18,则该正四棱锥的侧面积最小时,以下结论正确的是( ).
A.棱的高与底边长的比为B.侧棱与底面所成的角为
C.棱锥的高与底面边长的比为D.侧棱与底面所成的角为
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【题目】生男生女都一样,女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想,头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿,现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中,头胎为女孩的频率为0.5,生二孩的频率为0.525,其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.
(1)完成下列列联表,并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关;
生二孩 | 不生二孩 | 合计 | |
头胎为女孩 | 60 | ||
头胎为男孩 | |||
合计 | 200 |
(2)在抽取的200户家庭的样本中,按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户,进一步了解情况,在抽取的7户中再随机抽取4户,求抽到的头胎是女孩的家庭户数的分布列及数学期望.
附:
0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 | |
2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(其中
).
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【题目】设离心率为3,实轴长为1的双曲线(
)的左焦点为
,顶点在原点的抛物线
的准线经过点
,且抛物线
的焦点在
轴上.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线与抛物线
交于不同的两点
,且满足
,求
的最小值.
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【题目】已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为万元,每生产
千件需另投入
万元.设该公司一年内共生产该品牌服装
千件并全部销售完,每千件的销售收入为
万元,且
.
(1)写出年利润(万元)关于年产量
(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本)
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【题目】在综合素质评价的某个维度的测评中,依据评分细则,学生之间相互打分,最终将所有的数据合成一个分数,满分100分,按照大于或等于80分的为优秀,小于80分的为合格,为了解学生的在该维度的测评结果,在毕业班中随机抽出一个班的数据.该班共有60名学生,得到如下的列联表:
优秀 | 合格 | 总计 | |
男生 | 6 | ||
女生 | 18 | ||
合计 | 60 |
已知在该班随机抽取1人测评结果为优秀的概率为.
(1)完成上面的列联表;
(2)能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系?
(3)现在如果想了解全校学生在该维度的表现情况,采取简单随机抽样方式在全校学生中抽取少数一部分来分析,请你选择一个合适的抽样方法,并解释理由.
附:
0.25 | 0.10 | 0.025 | |
1.323 | 2.706 | 5.024 |
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