Question

3．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，一个顶点为A（2，0），离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当△AMN的面积为$\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；
（2）直线y=k（x-1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x-1）的距离，利用△AMN的面积，可求k的值．

解答 解：（1）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
∴b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）直线y=k（x-1）与椭圆C联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消元可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{（1+{k}^{2}）（4+6{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$
∵A（2，0）到直线y=k（x-1）的距离为d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△AMN的面积S=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{2\sqrt{（1+{k}^{2}）（4+6{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{（1+{k}^{2}）（4+6{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$×$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|k|\sqrt{4+6{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$

∵△AMN的面积为$\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，
∴$\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$=$\frac{|k|\sqrt{4+6{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$
∴k=±$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|．