Question

（本小题满分12分）
图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为,设AB=2x,BC=y.

（1）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；
（2）求当x取何值时，凹槽的强度最大.

Answer 1

（1）（）.（2）。

试题分析：（1）易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为.
所以 ，得     ------------4分
依题意知：      得
所以，（）.         -----------6分
（2）依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有
                    ----------------------8分

.     ----------10分
因为,  所以，当时，凹槽的强度最大.
答: 当时，凹槽的强度最大.                 --------------12分
点评：本题主要考查数学建模型和解模型的能力，主要涉及了平面图形的周长，面积及在实际问题中模型的意义．是应用题中的常见题型。