Question

已知实数a为(

x

2

-

2

x

)7的展开式中x²的系数，则

∫

-32a 1

(ex-

1

x

)dx=

e⁷-ln⁷-e

．

Answer 1

分析：先求出二项展开式得通项，令x得指数为2求出r，进而求出a，再代入

∫

-32a 1

(ex-

1

x

)dx利用定积分知识求解即可．

解答：解：因为(

x

2

-

2

x

)7的展开式得通项为：T_r+1=

C

r 7

(

x

2

) 7-r•(-

2

x

) r=（-1）^r

C

r 7

•(

1

2

)7-r•2^r•x

7-r

2

•x^-r；
令

7-r

2

-r=2⇒r=1．
∴展开式中x²的系数为：（-1）¹×

C

1 7

•(

1

2

)6•2¹=-

7

32

．
∴a=-

7

32

．
∴

∫

-32a 1

(ex-

1

x

)dx=∫

7 1

（e^x-

1

x

）dx═（e^x-lnx）|

7 1

=（e⁷-ln7）-（e¹-ln1）=e⁷-ln7-e．
故答案为：e⁷-ln7-e．

点评：本题主要考查二项展开式的应用问题．解决问题的关键在于熟悉求二项展开式的通项，并会用通项求解特定项．