Question

设F为抛物线C：y²=4x的焦点，过点P（-1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于（　　）

• A．

  2

• B．1
• C．±1
• D．不存在

Answer 1

分析：由题意设直线l的方程为my=x+1，与抛物线方程联立得到y²-4my+4=0，△=16m²-16=16（m²-1）＞0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀）．利用根与系数的关系可得y₁+y₂=4m，利用中点坐标公式可得结合两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可．

解答：解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立

my=x+1 y2=4x

，
得到y²-4my+4=0，△=16m²-16=16（m²-1）＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀）．
∴y₁+y₂=4m，∴y₀=

y1+y2

2

=2m，∴x₀=my₀-1=2m²-1．
∴Q（2m²-1，2m），
由抛物线C：y²=4x得焦点F（1，0）．
∵|QF|=2，∴

(2m2-2)2+(2m)2

=2，化为m²=1，解得m=±1，不满足△＞0．
故满足条件的直线l不存在．
故答案为：不存在．
故选D．

点评：本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公式等基础知识，考查了推理能力和计算能力．