Question

10．过点P（3，4）的直线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1只有一个交点，则该直线方程为x=3或3x-4y+7=0或3x+4y-25=0．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，结合双曲线的性质与图形可得过点P（3，4）与双曲线公有一个公共点的直线方程．

解答 解：由题意可得：双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的渐近线方程为：y=±$\frac{4}{3}$x，
①直线x=3与双曲线只有一个公共点；
②过点P（3，4）平行于渐近线y=±$\frac{4}{3}$x时，直线L与双曲线只有一个公共点，方程为y-4=±$\frac{4}{3}$（x-3），
即4x-3y+7=0或4x+3y-25=0；
③P在双曲线的渐近线上，所以没有切线方程．
故直线l的方程为x=3或4x-3y+7=0或4x+3y-25=0．
故答案为：x=3或3x-4y+7=0或3x+4y-25=0．

点评 本题以双曲线为载体，主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．突出考查了双曲线的几何性质．