Question

16．设函数f（x）=x³-$\frac{3}{2}$（a+1）x²+3ax+4，其中a∈R．
（1）若f（x）在x=2处取得极值，求常数a的值；
（2）若f（x）在（-∞，0）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（2）=0，求出a的值即可；（2）问题转化为3（x-a）（x-1）≥0在（-∞，0）恒成立，即x-a≤0在（-∞，0）恒成立，求出a的范围即可．

解答 解：（1）由f（x）=x³-$\frac{3}{2}$（a+1）x²+3ax+4，
则f′（x）=3x²-3（a+1）x+3a=3（x-a）（x-1），
若f（x）在x=2处取得极值，
则f′（2）=3（2-a）（2-1）=0，解得：a=2；
（2）若f（x）在（-∞，0）上为增函数，
则f′（x）=3x²-3（a+1）x+3a=3（x-a）（x-1）≥0在（-∞，0）恒成立，
即x-a≤0在（-∞，0）恒成立，
故a≥0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．