Question

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由；
（Ⅱ）求点D到平面ACE的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证明BC⊥平面ABE，然后说明平面ADE⊥平面BCE．
（Ⅱ）法一：连接BD交AC与点M，则点M是BD的中点，说明点D与点B到平面ACE的距离相等．转化为求B到平面ACE的距离，解Rt△CBE，即可．
法二：连接BD交AC与点M，说明BF为点B到平面ACE的距离，应用V_D-ACE=V_E-ACD，求出相关数据即可求出点D到平面ACE的距离．

解答：解：（Ⅰ）因为BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE．（2分）
因为平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
平面ABCD∩平面ABE=AB，所以BC⊥平面ABE，
从而BC⊥AE．（5分）
于是AE⊥平面BCE，故平面ADE⊥平面BCE．（6分）

（Ⅱ）方法一：连接BD交AC与点M，则点M是BD的中点，
所以点D与点B到平面ACE的距离相等．
因为BF⊥平面ACE，所以．（8分）
因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE．
又AE=BE，所以△AEB是等腰直角三角形．
因为AB=2，所以BE=2sin45°=

2

．（9分）
在Rt△CBE中，CE=

BC2+BE2

=

6

．（10分）
所以BF=

BC×BE

CE

=

2 2

6

=

2 3

3

．
故点D到平面ACE的距离是

2 3

3

．

方法二：过点E作EG⊥AB，垂足为G，
因为平面ABCD⊥平面ABE，所以EG⊥平面ABCD．
因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE．又AE=BE，
所以△AEB是等腰直角三角形，
从而G为AB的中点．又AB=2，所以EG=1．（8分）
因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥EC．
又AE=BE=2sin45°=

2

，CE=

BC2+BE2

=

6

．（．（10分）
设点D到平面ACE的距离为h，因为V_D-ACE=V_E-ACD，
则

1

3

S△ACE• h= 

1

3

S△ACD •EG．
所以h=

1 2 AD•DC•EG

1 2 AE• EC

=

2×2×1

2 × 6

=

2 3

3

，
故点D到平面ACE的距离是

2 3

3

．（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，点到平面的距离，考查逻辑思维能力，是中档题．