Question

已知a＞0且a≠1，若f（x）=log_a（ax²-x）在[3，4]上是减函数，则a的范围是

 

．

Answer 1

分析：根据复合函数单调性之间的关系以及对数函数的性质即可求a的取值范围．

解答：解：设t=g（t）=ax²-x，则y=log_at．
①当a＞1时，要使f（x）=log_a（ax²-x）在[3，4]上是减函数，
则只需函数t=ax²-x在[3，4]是减函数，且函数g（4）＞0，
即对称轴x=-

-1

2a

=

1

2a

≥4且g（4）=16a-4＞0，
即a≤

1

8

且a＞

1

4

，
∵a＞1，∴此时不成立．
②当0＜a＜10时，要使f（x）=log_a（ax²-x）在[3，4]上是减函数，
则只需函数t=ax²-x在[3，4]是增函数，且函数g（3）＞0，
即对称轴x=

1

2a

≤3且g（3）=9a-3＞0，
即a≥

1

6

且a＞

1

3

，
即

1

3

＜a＜1．
故答案为：（

1

3

，1）．

点评：本题考查函数单调性的应用，利用复合函数的单调性之间的关系以及二次函数的图象和性质是解决本题的关键考查分类讨论的数学思想．