Question

19．已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，y）到焦点F的距离为$\frac{17}{16}$．
（1）求p的值；
（2）若圆（x-a）²+y²=1与抛物线C有四个不同的公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的性质即可求出；
（2）联立方程组，根据题意可得$\left\{\begin{array}{l}{△=（1-8a）^{2}-16（4{a}^{2}-4）＞0}\\{-\frac{1-8a}{4}＞0}\\{{a}^{2}-1＞0}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：（1）抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，y）到焦点F的距离为$\frac{17}{16}$．
则1+$\frac{p}{2}$=$\frac{17}{16}$，
解得p=$\frac{1}{8}$，
（2）由（1）以及已知得$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=\frac{1}{4}x}\\{（x-a）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
即4x²+（1-8a）x+4a²-4=0有两个不相等的实数根，
则$\left\{\begin{array}{l}{△=（1-8a）^{2}-16（4{a}^{2}-4）＞0}\\{-\frac{1-8a}{4}＞0}\\{{a}^{2}-1＞0}\end{array}\right.$，
解得1＜a＜$\frac{65}{16}$，
则实数a的取值范围为（1，$\frac{65}{16}$）

点评 本题考查圆与抛物线的位置关系，考查学生分析转化问题的能力，考查计算能力，正确合理转化是关键．