Question

设函数f（x）=x|x-a|+b
（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a²+b²=0．
（2）设常数b＜2-3，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）充分性：若a²+b²=0∴a=b=0
∴f（x）=x|x|对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0
∴f（x）为奇函数，故充分性成立．（2分）
必要性：若f（x）为奇函数
则对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0
令x=0，得b=0；令x=a，得a=0．∴a²+b²=0（6分）

（2）由b＜2-3＜0，当x=0时a取任意实数不等式恒成立
当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，也即x+＜a＜x-恒成立
令g（x）=x+在0＜x≤1上单调递增，∴a＞g_max（x）=g（1）=1+b（10分）
令h（x）=x-，则h（x）在（0，]上单调递减，[，+∞）单调递增
1°当b＜-1时h（x）=x-在0＜x≤1上单调递减
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．（12分）
2°当-1≤b＜2-3时，h（x）=x-≥2，
∴a＜h_min（x）=2，∴1+b＜a＜2．（14分）
分析：（1）欲证f（x）为奇函数的充要条件是a²+b²=0，须证两个方面：①充分性：若a²+b²=0?f（x）为奇函数，②必要性：若f（x）为奇函数?a²+b²=0．
（2）分类讨论：①当x=0时a取任意实数不等式恒成立；②当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，再转化为x+＜a＜x-恒成立问题，下面利用函数g（x）=x+的最值即可求得实数a的取值范围．
点评：本小题主要考查充要条件、函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．如果能从命题p推出命题q，且能从命题q推出命题p，那么 条件q与条件p互为充分必要条件，简称充要条件．