Question

已知圆x²+y²-4x+2y-3=0和圆外一点M(4，-8)，
(1)过M作圆的割线交圆于A、B两点，若|AB|=4，求直线AB的方程；
(2)过M作圆的切线，切点为C、D，求切线长及CD所在直线的方程．

Answer 1

解：(1)圆即(x-2)²+(y+1)²=8，圆心为P(2，-1)，半径r=2，
①若割线斜率存在，设AB：y+8=k(x-4)，即kx-y-4k-8=0，
设AB的中点为N，则|PN|=，
由|PN|²+²=r²，得k=-，
AB：45x+28y+44=0；
②若割线斜率不存在，AB：x=4，
代入圆方程得y²+2y-3=0，y₁=1，y₂=-3符合题意；
综上，直线AB的方程为45x+28y+44=0或x=4；
(2)切线长为，
以PM为直径的圆的方程为(x-2)(x-4)+(y+1)(y+8)=0，
即x²+y²-6x+9y+16=0，
又已知圆的方程为x²+y²-4x+2y-3=0，
两式相减，得2x-7y-19=0，
所以直线CD的方程为2x-7y-19=0。