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在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数)若以O点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;
(2)将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的,再将所得曲线向左平移1个单位,得到曲线CΘ,求曲线CΘ上的点到直线l的距离的最小值.
【答案】分析:(1)利用直角坐标与极坐标间的关系:ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得C的直角坐标方程,将直线l的参数消去得出直线l的普通方程.
(2)曲线C1的方程为4x2+y2=4,设曲线C1上的任意点(cosθ,2sinθ),利用点到直线距离公式,建立关于θ的三角函数式求解.
解答:解:(1)由ρ=4cosθ,得出ρ2=4ρcosθ,化为直角坐标方程:x2+y2=4x
即曲线C的方程为(x-2)2+y2=4,直线l的方程是:x+y=0…(4分)
(2)将曲线C横坐标缩短为原来的 ,再向左平移1个单位,得到曲线C1的方程为4x2+y2=4,设曲线C1上的任意点(cosθ,2sinθ)
到直线l距离d==
当sin(θ+α)=0时
到直线l距离的最小值为0.
点评:本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及利用平面几何知识解决最值问题.利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代换即得.
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科目:高中数学 来源: 题型:

在直角坐标系xOy中,椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点,点M为C1与C2在第一象限的交点,且|MF2|=
5
3

(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)平面上的点N满足
MN
=
MF1
+
MF2
,直线l∥MN,且与C1交于A,B两点,若
OA
OB
=0
,求直线l的方程.

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在直角坐标系xOy中,已知点P(2cosx+1,2cos2x+2)和点Q(cosx,-1),其中x∈[0,π].若向量
OP
OQ
垂直,求x的值.

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精英家教网如图所示,在直角坐标系xOy中,射线OA在第一象限,且与x轴的正半轴成定角60°,动点P在射线OA上运动,动点Q在y轴的正半轴上运动,△POQ的面积为2
3

(1)求线段PQ中点M的轨迹C的方程;
(2)R1,R2是曲线C上的动点,R1,R2到y轴的距离之和为1,设u为R1,R2到x轴的距离之积.问:是否存在最大的常数m,使u≥m恒成立?若存在,求出这个m的值;若不存在,请说明理由.

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在直角坐标系xOy中,已知圆M的方程为x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0(α为参数),直线l的参数方程为
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t
为参数)
(I)求圆M的圆心的轨迹C的参数方程,并说明它表示什么曲线;
(II)求直线l被轨迹C截得的最大弦长.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率e=
2
2
,左右两个焦分别为F1,F2.过右焦点F2且与x轴垂直的直线与椭圆C相交M、N两点,且|MN|=2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的一个顶点为B(0,-b),是否存在直线l:y=x+m,使点B关于直线l 的对称点落在椭圆C上,若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.

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