Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB，G为PD中点，E为AB的中点．
（1）求证：AG⊥平面PCD；
（2）求证：AG∥平面PEC．

Answer 1

证明：（1）∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA=A
∴CD⊥平面PAD
∵AG?平面PAD，∴CD⊥AG，
又PD⊥AG，PD∩CD=D，
∴AG⊥平面PCD；
（2）取PC的中点F，连接FE，FG，

则GF∥CD∥AE，GF=CD=AE
∴四边形AGFE是平行四边形
∴EF∥AG，又AG?面PEC，EF?面PEC，
∴AG∥平面PEC．
分析：（1）欲证AG⊥面PCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AG与平面PCD内两相交直线垂直，根据CD⊥AD，CD⊥PA，可证得CD⊥平面PAD，从而CD⊥AG，又PD⊥AG满足线面垂直的判定定理条件；
（2）欲证AG∥面PCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AG与平面PEC内一直线平行，取PC的中点F，连接FE，FG，证明EF∥AG，又AG?面PEC，EF?面PEC，满足定理所需条件．
点评：本题考查线面垂直的判定，以及线面平行的判定，正确掌握判定的方法是关键．