Question

一非零向量列{a_n}满足：a₁=(x₁,y₁),a_n=(x_n,y_n)=(x_n-1-y_n-1,x_n-1+y_n-1)(n≥2),

(1)证明：{|a_n|}是等比数列；

(2)求a_n-1与a_n的夹角θ_n(n≥2),若b_n=2nθ_n-1,S_n=b₁+b₂+…b_n,求S_n;

(3)设a₁=(1,2),把a₁，a₂，…，a_n,…中所有与a₁共线的向量按照原来的顺序排成一列，记为b₁,b₂,…,b_n,…,令Ob_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n(O为坐标原点)，求点列{B_n}的极限点B的坐标（注：若点B_n的坐标为（t_n,s_n）且t_n=t,s_n=s，则点B（t,s）为点列{B_n}的极限点）.

Answer 1

解：（1）|a_n|===|a_n-1|对任意n≥2恒成立，即|a_n|=|a_n-1|,故{|a_n|}是首项为|a₁|,公比为的等比数列；

（2）a_n-1·a_n=(x_n-1,y_n-1)·(x_n-1-y_n-1,x_n-1+y_n-1)=(+)=

|a_n-1|²,cos＜a_n-1,a_n＞=,将|a_n|=|a_n-1|,a_n-1·a_n=|a_n-1|²代入上式可得cos＜a_n-1,a_n＞=,所以a_n-1与a_n的夹角为θ_n=;b_n=2nθ_n-1=-1,

    则{b_n}为等差数列，S_n=×n=(1+n)n-n=(n²+n)-n.

（3）∵a₁=(x₁,y₁),a_n=(x_n-1-y_n-1,x_n-1+y_n-1),

∴ a₂=(x₁-y₁,x₁+y₁),

a₃=(-y₁,x₁),a₄=(-x₁-y₁,x₁-y₁),a₅=-(x₁,y₁),类推得a₁∥a₅∥a₉…,所以b₁=a₁,b₂=a₅,…b_n=a_4n-3（也可用数学归纳法证明），b_n=a_4n-3=(-)^n-1(x₁,y₁),设=(t_n,s_n),则t_n=［1+(-)+(-)²+…+(-)^n-1］x₁

=［1-(-)ⁿ］,S_n=［1+(-)+(-)²+…+(-)^n-1］y₁

=［1-(-)ⁿ］,所以点B_n的坐标（t_n,s_n）为（［1-（-）ⁿ］,［1-(-)ⁿ］）.

    又t_n=    s_n=.

∴ 点列{B_n}的极限点B的坐标为（，）.