Question

设函数y=x+2-

x-1

的值域为C，则用列举法表示差集：N\C=

{0，1，2}

．

Answer 1

分析：换元法：令

x-1

=t，将函数转化成关于t的二次函数问题，注意新元t在区间[0，+∞）上求值域，再结合二次函数在区间上的单调性，求得相应的最值，从而得函数的值域，最后利用差集定义利用列举法写出集合即得．

解答：解：令

x-1

=t，t≥0，则 x=t²+1，
∴y=t²+1+2-t=t²-t+3，
二次函数图象关于直线t=

1

2

对称，
∴当t=

1

2

时，函数的最小值为

11

4

，
故所求函数的值域为[

11

4

，+∞），
则用列举法表示差集：N\C={0，1，2}．
故答案为：{0，1，2}．

点评：本题主要考查了函数的值域．通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域．换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式，换元时要注意新变量的取值范围问题．